Cours de génie mécanique - Résistance des matériaux

Cours de génie mécanique

GÉNIE MÉCANIQUE

1. Résistance des matériaux
1.1. Moments quadratiques
1.2. Équation de la ligne élastique
1.3. Torsion
1.3.1. Ressort de compression
1.4. Flambage
1.5. Traction

Le génie mécanique désigne l'ensemble des connaissances liées à la mécanique, au sens physique (sciences des mouvements) et au sens technique (étude des mécanismes). Ce champ de connaissances va de la conception d'un produit mécanique au recyclage de ce dernier en passant, bien sûr par la fabrication, la maintenance, etc.
Ses applications sont très importantes dans de nombreux domaines de la vie de tous les jours que ce soit pour la fabrication de machines, de jouets, d'appereils électro-ménagers ou encore d'immeubles ou de toute sortes de moyens de transports... et la lise est encore longue...

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

La résistance des matériaux (R.D.M. est ResDem pour les intimes...) est, comme tous les autres chapitres de ce site, un domaine extrêmement vaste dont le niveau de détail et la complexité des calculs peut exploser. Nous allons dans les paragraphes qui suivent nous attarder sur l'essentiel que l'ingénieur (en entreprise) doit savoir. Les développements sont simplifiés à l'extrême pour des cas particuliers triviaux. Dans la réalité il faut utiliser le calcul tensoriel, les plans d'expérience ou la modélisation informatique avec les MEF (méthodes des éléments finis).
Avant de commencer à étudier quelques cas concrets simples faisons quelques rappels des démonstrations issues du chapitre de Mécanique des Milieux Continus:
Le solide considéré comme rigide n'existe pas, ce n'est qu'une approximation commode. L'expérience montre en effet qu'un solide est toujours légèrement déformable sous l'effet de forces extérieures.
Les relations entre déformations et tensions sont en général compliquées par suite de l'anisotropie des réseaux cristallins. Cependant, les solides n'étant généralement pas des monocristaux mais des substances polycristallines, constituées d'assemblages de microcristaux associés au hasard, ils peuvent être considérés comme isotropes.
Ensuite, il convient de considérer globalement les hypothèses suivantes relativement aux développements qui vont suivre:
H1. Les déformations (déplacements des points de la ligne caractéristiques) sont petites par rapport aux dimensions des objets étudiés.
H2. Toute section droite avant déformation reste droite après déformation (Hypothèses de Navier-Bernoulli).
H3. Les résultats obtenus en R.D.M. ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts concentrés (Hypothèse de Barré de Saint Venant).
Nous avons vus dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la loi de Hook stipule, lorsque les déformations sont réversibles, qu'il y a proportionnalité entre tension et déformation (une des variantes de formulation de la loi de Hook):

  (1)

ou:

  (2)

où E est le module de Young,  la déformation normale et  la contrainte normale.
Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la contrainte tangentielle était donnée par:

  (3)

où G est le module de cisaillement, est l'angle de déformation et  le coefficient de Poisson, nombre sans dimensions. Nous avons donc une relation entre le module d'élasticité et de rigidité valable dans le cas des petites déformations.
Nous avons vu également dans le même chapitre que pour un solide ou un liquide soumis à une surpression isotrope uniforme nous avions:

  (4)

Le coefficient de compressibilité est donc un nombre positif, par conséquent en utilisant la relation précédente, nous avons:

  (5)

et vient alors un résultat connu:

  (6)

Donc le coefficient de Poisson ne peut pas être plus grand que ½ et il peut être négatif (dans ce dernier cas nous parlons alors de matériaux auxétiques).
Enfin, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la contraction unitaire selon l'axe z était donnée lors d'une traction selon l'axe x par:

  (7)

Soit autrement écrit (en se concentrant sur le plan XZ):

  (8)

Soit:

  (9)

Et c'est ce que montre la figure-ci-dessous:

  (10)

Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus la relation suivante:

  (11)

qui exprime le moment de flexion pour une poutre sous une effort d'écrivant un arc de cercle et où I caractérise la "rigidité de forme" d'un matériau d'aire transversale donnée. C'est une relation très importante dans de nombreux domaines de la construction (navale, automobile, architecture, etc.).

Remarque: I est appelé le "moment d'inertie statique" ou "moment quadratique" comme nous l'avons déjà spécifié dans le chapitre de mécanique des milieux continus.

MOMENTS QUADRATIQUES

Voyons les trois moments d'inerties statiques  classiques du domaine de la RDM car souvent rencontrés dans la pratique (construction):
1. Moment d'inertie statique transversal de la plaque rectangulaire de côté b et hauteur h:

  (12)

Le domaine occupé par la plaque est donné par:

  (13)

Nous avons alors:

  (14)

2. Moment d'inertie statique transversal d'un disque de diamètre :

  (15)

Ici le domaine d'intégration est :

  (16)

où d est le diamètre du disque.
Nous avons toujours:

  (17)

Pour calculer cette intégrale nous utilisons les coordonnées polaires :

  (18)

Le jacobien de la transformation est égal à r (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Nous obtenons:

  (19)

3. Moment d'inertie statique d'une couronne de diamètre extérieur D et diamètre intérieur d:

  (20)

Ici le domaine d'intégration est :

  (21)

où D et d sont respectivement les diamètres du grand et du petit disque.
Si nous notons  le domaine du grand disque et  celui du petit disque alors:

  (22)

en utilisant le moment d'inertie statique du disque.
Pour résumer, nous avons donc:

  (23)

et enfin il existe aussi le moment quadratique polaire de S par rapport à un point O:

  (24)

Il est donc aisé dans des cas simples de connaître le moment d'inertie polaire et celui-ci est très utile dans la cadre de l'étude de la torsion.
Il découle de ces outils que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important et plus (nous le démonterons dans ce qui suit) les flèches seront faibles.

ÉQUATION DE LA LIGNE ÉLASTIQUE

Pour cet exemple de cas d'école mais très utilisé dans la pratique nous allons d'abord devoir obtenir mathématiquement la forme géométrique que prend la fibre neutre d'une poutre soumise à des efforts de flexion.

Remarque: Les systèmes mécaniques dont l'étude, excédent les calculs de la statique et qui exigent la prise en compte des contraintes et des déformations élastiques sont appelés (curieusement...) "systèmes hyperstatiques".

En faisant l'hypothèse que les déformations sont faibles et que le poids de la poutre est faible devant la force qui plie la poutre, nous pouvons faire le schéma suivant:

  (25)

Par définition de la dérivée et en vertu de l'hypothèse des faibles déformations (cela fonctionne donc quand même bien jusqu'à 45°...) :

  (26)

Soit en dérivant encore une fois:

  (27)

D'autre part, la figure montre que (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (28)

Mais du fait que la courbe de la fibre neutre s'écarte peu de l'axe y (déformation faibles), nous pouvons écrire:

  (29)

Donc:

  (30)

Ainsi, nous pouvons écrire en utilisant les relations obtenus plus haut:

  (31)

qui est donc l'équation différentielle donnant , appelée "équation de la ligne élastique".
Exemples:
E1. Poutre encastrée que d'un seul côté (cas classique dans la construction et les habitations):

  (32)

Dans la section S quelconque, le moment de force (de flexion) vaut donc:

  (33)

D'autre part:

  (34)

En éliminant R entre ces deux relations, il reste:

  (35)

La figure montre que les conditions aux limites sont:

  (36)

Nous tirons après intégration:

  (37)

Soit:

  (38)

Si  la déformation est maximale et z prend donc la valeur maximale f appelée la "flèche". Il s'ensuit:

  (39)

Tout les données de cette relation nous sont connues (force, longueur, module de Young, inertie statique).
Les connaissant il est alors possible de déterminer si la barre va casser ou non car il suffit d'appliquer la relation démontrée plus haut:

  (40)

et sachant expérimentalement à partir de quelle valeur de  la matériau casse on saura quand la barre cassera (approximativement!).
Nous avons donc un résultat qui va nous être utile par la suite:

  (41)

et en intégrant de 0 à L nous retrouvons la flèche de notre poutre précédente!
E2. La poutre soutenue est l'exemple le plus classique en construction et donc en architecture. Il s'agit d'une poutre homogène, de section constante, reposant sur deux appuis libres à ses extrémités et soumis à une charge F en son centre:

  (42)

Nous pouvons donc considérer que tout se passe comme si nous avait F/2 aux deux extrémités de deux poutres de longueur L/2. Remarquons que nous négligeons le poids de la poutre devant F, mais F peut être tout simplement le poids de la poutre! En utilisant la relation précédente, nous avons:

  (43)

Soit:

  (44)

Ainsi, pour une même longueur de poutre, à F identique la flèche est donc 16 fois moindre que pour une poutre encastrée! C'est cette relation qui est aussi utilisée pour les poutres IPN (fameuses en construction!).

TORSION

Rappelons au lecteur d'abord une étude faite dans le chapitre de Mécanique Classique sur le pendule de torsion où certains éléments avaient volontairement tus. Étudions cela plus en détails car très utile pour les arbres de transmission ou les ressort dans la vie de tous les jours.
Considérons maintenant un fil cylindrique fixé en sa base soumis à un moment de torsion . Sous l'effet de ce moment de torsion, la face supérieure du fil est décalée d'un angle  par rapport à la face inférieure, la matière subissant une tension de torsion (ou cisaillement):

  (45)

Imaginons à l'intérieur du fil un tube élémentaire de rayon r, d'épaisseur dr, et observons l'effet de la torsion sur ce tube déroulé (cela nous permettra une approche approximative du phénomène intéressé):

  (46)

Cherchons une relation entre le moment de torsion  et l'angle de torsion .
Pour le tube déroulé, appliquons les relations du cisaillement:

  (47)

or la figure montre que (les déformation étant faibles) au premier ordre en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites et Séries):

  (48)

d'où:

  (49)

Le moment élémentaire dû à cette force est par définition du moment de force:

  (50)

Soit puisque  et  sont perpendiculaires:

  (51)

Le moment total vaut alors:

  (52)

donc:

  (53)

Nous retrouvons donc la relation du pendule de torsion que nous avions posé lors de notre étude du pendule de torsion dans le chapitre de Mécanique Classique avec comme différence que cette fois la constante k, la "constante de torsion" est explicite!!!!
Voyons donc une application très importante au ressort de compression de type hélicoïdal  (l'approche est approximative à nouveau à défaut de mieux...) travaillant en torsion.
D'abord il faut bien se rendre compte que lorsqu'une force est appliquée au ressort, les extrémités vont tourner d'un angle  alpha faible (torsion) correspondant au parcours d'une distance x qui elle-même correspond au rétrécissement du ressort (ben oui! il faut bien que cette longueur soit reprise quelque part).
Soit alors un ressort de rayon extérieur R  (soit de diamètre D), de module de cisaillement G, avec un diamètre de corps d (diamètre du cylindre plié dont est composé le ressort) :

  (54)

Pour l'analyse nous aurons besoins simplement de mélanger plusieurs de relations démontrées jusqu'à maintenant. En premier lieu l'angle de torsion d'une poutre de longueur L (longueur du ressort en l'occurrence!):

  (55)

Avec:

  (56)

et:

  (57)

Par ailleurs, le moment de torsion s'écrit:

  (58)

Nous arrivons donc à:

  (59)

Remarque: Le rapport  est appelé la "raideur".

Le déplacement (déformation) x vaut lui (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (60)

Nous arrivons finalement à:

  (61)

ce qui nous amène à la relation mondialement connue dans le monde dans la R.D.M. en ce qui concerne les ressorts:

  (62)

où k est la "constante de raideur" du ressort!!

FLAMBAGE

Nous terminons cette étude de la R.D.M. avec le flambage (cas d'étude classique en construction et mécanique) qui consiste à déterminer (dans un cas particulier simple) la force minimale  à partir de laquelle une barre de longueur L, de module de Young E fixée à ses deux extrémités peut plier (avec un rayon R) jusqu'à casser sans qu'il y ait besoin de trop augmenter la force  (il s'agit donc à nouveau d'une valeur d'indication!).
Dans l'étude de ce phénomène, nous considérons que dès que la barre commence à plier nous avons alors  (et nous ne sommes alors plus très loin de la force permettant de la casser).

  (63)

Lorsque la barre commence à plier nous avons alors une force  qui s'applique à chaque élément de volume de la barre mais ceux-ci ne sont pas distribués de la même manière selon l'axe z et donc ne créent pas le même moment de force!
A l'équilibre de la force de flambement, la barre soumet un moment de rappel. Nous avons alors:

  (64)

En exprimant le moment de flexion M au moyen de la relation:

  (65)

Il vient:

  (66)

En utilisant l'équation de la ligne élastique et en remplaçant, nous obtenons:

  (67)

soit:

  (68)

qui est l'équation différentielle de flambage permettant de calculer la force de flambage avec les conditions initiales:

  (69)

La résolution de cette équation différentielle du second ordre est aisée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) puisque l'équation caractéristique est:

  (70)

Nous avons alors la solution homogène:

  (71)

La condition  impose:

  (72)

Il vient alors:

  (73)

La deuxième condition  impose:

  (74)

Donc il vient immédiatement que:

  (75)

avec  (car si k valant zéro n'est pas une solution physique possible et pour k entier supérieur à 1 signifierait que la barre plie sur plusieurs périodes ce qui n'est pas le cas puisqu'elle le fait seulement sur une demi-période comme le montrait la figure). Soit:

  (76)

Cette relation est parfois appelée "formule d'Euler" (à ne pas confondre avec la formule du même nom en théorie des graphes) et la charge limite la "charge ou force critique d'Euler". L'ensemble de l'étude étant le "flambage d'Euler".

TRACTION

Considérons maintenant le cas d'une barre suspendue seulement à son propre poids. La surface de sa section circulaire est S et h la hauteur totale de cette barre. Le module de Young du matériau est noté E (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus) et  sa masse volumique.
Il est facile de constater qu'une section située à une altitude z supporte le poids du morceau de barre situé sous elle:

  (77)

La contrainte n'est alors pas constante dans la barre:

  (78)

et la déformation non plus:

  (79)

z étant l'abscisse sur la barre, la déformation inhomogène est liée au déplacement par la relation:

  (80)

Après intégration, nous obtenons la forme générale du déplacement:

  (81)

où la constante est à déterminer en utilisant les éventuelles conditions de liaison aux extrémités de la barre. Si l'extrémité supérieure est encastrée, le déplacement y est donc nul:

  (82)

Le déplacement en tout point de la barre s'exprime donc:

  (83)

L'allongement de la barre est l'écart en déplacement entre les deux extrémités de la barre:

  (84)

Nous avons alors trivialement:

  (85)